Менскі матэматык Віктар Карпаў вырашыў праблему Гольдбаха—Эйлера — задачу, над якой біліся найлепшыя сусьветныя навукоўцы 262 гады.
Над адной з самых вядомых матэматычных задач кандыдат фізыка-матэматычных навук Віктар Карпаў задумаўся пры канцы 50-х, калі вучыўся ў Ленінградзе, а шчыльна ўзяўся ў 90-х, пасьля выхаду на пэнсію.
Праблема Гольдбаха належыць да ліку так званых «спартовых» задач (сярод такіх — тэарэма Фэрма, праблема Рымана ды інш.). Сфармуляваная некалькі стагодзьдзяў таму, яна нарадзілася як гульня абстрактнага розуму. У 1742 г. Хрыстыян Гольдбах паспрабаваў прадставіць кожны няцотны лік у выглядзе сумы трох простых лікаў (тых, якія дзеляцца выключна на саміх сабе і на адзінку, — як 3, 5, 7, 11, 13, 17 і г.д.), склаў невялічкае і, падавалася, даволі простае раўнаньне, але рашыць яго ня здолеў і даслаў свайму сябру — Леанарду Эйлеру. Знакаміты матэматык заўважыў на гэта, што задачу лёгка вырашыць, калі прадставіць кожны цотны лік у выглядзе сумы двух простых лікаў, але шляхоў да вырашэньня не знайшоў. Таму, хто бярэцца за гэтае раўнаньне, здаецца, што рашэньне недзе блізка, але на працягу двух стагодзьдзяў ніхто ня здолеў вырашыць гэтай праблемы.
Бліжэй за ўсіх да вырашэньня быў расейскі акадэмік Іван Вінаградаў, які давёў, што для вельмі вялікіх лікаў няцотны лік можна прадставіць у выглядзе трох простых лікаў (для маленькіх лікаў — няма рашэньня). Аднак ён ня здолеў знайсьці рашэньня для цотных. Акадэмік Вінаградаў абраў даволі цяжкі шлях, бо намагаўся падысьці да рашэньня простага раўнаньня з дапамогай складаных трыганамэтрычных радоў.
У 90-х гадах XX ст. праблемай Гольдбаха шчыльна заняўся Апосталас Даксіядыс — грэцкі пісьменьнік і навуковец, прадстаўнік школы «літаратурнага касмапалітызму». Празь некалькі год бясплённага змаганьня зь лічбамі ён прызнаў, што пакрысе пачынае вар’яцець. Даксіядыс напісаў раман пад назвай «Дзядзька Пэтрас і праблема Гольдбаха», з дапамогай якога набыў сусьветную славу. Паводле сюжэту, галоўны герой усё жыцьцё б’ецца над прынцыпова невырашальнай навуковай праблемай і пры канцы траціць розум.
У 2000 г. ангельскі кнігавыдавец і сябар пісьменьніка Тоні Фэйбэр паабяцаў таму, хто вырашыць праблему Гольдбаха, зрабіць прэзэнт са сваёй кішэні ў выглядзе 1 млн даляраў.
Поўнасьцю гэты артыкул можна прачытаць у папяровай і pdf-вэрсіі "Нашай Нівы"
Сяргей Будкін
Праблема Гольдбаха—Эйлера. Рашэньне Віктара Карпава.
Раўнаньне Эйлера:
Трэба даказаць, што кожны цотны лік, большы за 2, можна прадставіць у выглядзе сумы двух простых лікаў x, y, дзе x большае альбо роўнае y, а 2n — цотны лік, роўны x + y. 2n = x + y ёсьць раўнаньнем Эйлера (фармулёўка гіпотэзы Эйлера).
Існуюць дзьве магчымасьці рашэньня раўнаньня: ці ёсьць канцавая колькасьць рашэньняў, ці такіх рашэньняў — бясконцасьць. Меркаваньне, што колькасьць рашэньняў раўнаньня канцавая, вядзе да супярэчнасьці. Мэтадам ітэрацыі, калі з кожнага папярэдняга рашэньня вынікае наступнае, былі атрыманы ўсе рашэньні раўнаньня Эйлера для n ад 3 да 100000500, аднак ітэрацыйны працэс патэнцыйна можна ажыцьцяўляць для ўсіх натуральных лікаў ад 3. Меркаваньне, што ітэрацыйная пасьлядоўнасьць мае канец, супярэчыць сьцьверджаньню пра бясконцасьць рашэньняў раўнаньня Эйлера для простых лікаў. Сапраўды, калі з канцавой лічбы ітэрацыі вынікае, што n большае за n, дзе n — нумар апошняй ітэрацыі, то рашэньня раўнаньня Эйлера не існуе, але з існаваньня простага ліку, большага за нумар апошняй ітэрацыі, вынікае, што такое рашэньне існуе. Іншымі словамі, існуе бясконцая колькасьць рашэньняў раўнаньня Эйлера.
Прыклады рашэньняў раўнаньня Эйлера 2n = x + y, дзе x, y – простыя лічбы, дзе x большае альбо роўнае y, а 2n – цотны лік:
6 = 3 + 3, 8 = 5 + 3, 10 = 5 + 5, 12 = 7 + 5, ...24 = 13 + 11, 26 = 13 + 13, ...100001494 = 50000747 + 50000747,
100001496 = 50000813 + 50000683…
Раўнаньне Гольдбаха:
Трэба даказаць, што кожны натуральны лік n, большы за 5, можна прадставіць у выглядзе сумы трох простых лікаў x, y, z (фармулёўка гіпотэзы Гольдбаха). n = x + y + z ёсьць раўнаньнем Гольдбаха.
Доказ: да кожнага разьбіцьця цотнага ліку на два простыя лікі далучым у якасьці трэцяга складніка спачатку 2, а потым 3 і атрымаем, напрыклад:
2 + 2 + 2 = 6, 2 + 2 + 3 = 7, 3 + 3 + 2 = 8, 3 + 3 + 3 = 9, ...11 + 5 + 2 = 18, 11 + 5 + 3 = 19, 11 + 7 + 2 = 20 і г.д.
